הוראה, מתמטיקה ואלתור בשיטת המשולשים

קטעים נבחרים מתוך עבודתה של שירן שיטרית עבור הקורס

 “סדנת מיומנויות אלתור בחינוך הבלתי פורמאלי” בהנחיית אלונה פרץ

 

“היצירה של מתמטיקאי, כמו יצירתם של צייר או משורר, צריכה להיות יפה. כשם שהצבעים או המילים צריכים להיות מותאמים זה לזה, כך הרעיונות המתמטיים צריכים לבטא הרמוניה מושלמת. קשה להגדיר מהו יופי מתמטי, אך יכולים גם לשאול מהו יופי בתחומים אחרים. ייתכן שאין אנו יודעים בדיוק מה מובנו של שיר יפה, אך אין זה מונע מאתנו להכיר ביופיו כאשר אנו קוראים שיר. כך גם במתמטיקה”.(הרולד גודפרי הארדי)

על הדימיון בין מתמטיקה לאלתור וליצירה

נושא היצירתיות במתמטיקה ובמדע בכלל אינו זוכה בדרך כלל לתשומת לב רבה. מקובל לשייך את היצירתיות לתחום האמנות ולראות במתמטיקה מלאכה של שימוש בידע רציונל וביישום כללים קיימים.  לדעתי תפיסה זו היא תוצאה של חינוך מוטעה, שבו תפקיד המתמטיקה נתפס כשעתוק וכיישום הידע המדעי ולא כיצירת ידע חדש, כחיפוש וכגילוי. אחת ההגדרות ליצירתיות-“יצירתיות זאת יצירת תגובה, תוצר או פתרון חדשניים ומתאימים למשימה פתוחה”. יצירתיות מחייבת שינוי ממה שנעשה קודם בתחום. הרעיונות החדשים נכנסים לאינטראקציה עם הרעיונות הקודמים ויכולים להרוס את המאזן הקיים. יש לציין, כי יצירתיות אינה נקשרת כאן לתכונות אישיות, אלא לרעיונות חדשים.

אני אתייחס לסרט קצר של דן מאייר, לפי דבריו יש דמיון בין אלתור ומתמטיקה. דן מאייר הוא פיזיקאי שבמקביל לעבודת הדוקטורט שלו היה גם משתתף בסדנת אלתור.

“באותו זמן, למדתי גם משחק, בסדנת תיאטרון אלתור. וכך, את היום הקדשתי למחקר בפיזיקה, ובלילה ביליתי בכיף, בצחוק, בריקודים ובשירה, ובנגינה על הגיטרה שלי. תיאטרון אלתור, בדיוק כמו המדע, חותר לעבר הלא נודע. עליך לבנות את הסצנה על הבמה, תוך כדי משחק, ללא במאי, וללא תסריט, בלי שיהיה לך שמץ של מושג איזו דמות תגלם, או מה הדמויות האחרות בהצגה יעשו. אך, בניגוד למה שקורה במדע, בתיאטרון אלתור אומרים לך כבר מהיום הראשון מה יקרה לך ברגע שתעלה על הבמה. אתה הולך להיכשל, כישלון חרוץ. אתה הולך להיתקע. בסדנה למדנו איך להישאר יצירתיים, גם במצב הזה של אין מוצא. לדוגמה, היה לנו תרגיל שבו כולנו עמדנו במעגל, וכל אחד בתורו היה אמור לרקוד סטפס, בצורה מגוחכת במיוחד, כאשר כל האחרים מוחאים כפיים, מריעים לו, ומעודדים אותו על הבמה”.(דן מאייר)

לקראת סוף הסרט הוא מספר שחווית האלתור גרמה לו להבין שהאי וודאות היא חלק חשוב ולא נמנע מתהליך עבודת הדוקטורט שלו.

יצירתיות נתפסת ככרוכה ביכולת להגיע לתוצאות מקוריות ולא שגרתיות, חדשנות, פתרון בעיות תוך כדי “יציאה מהקופסה”. מודגש כי יצירתיות דורשת שילוב של ידע, יכולת, סגנון חשיבה, הנעה ומשתנים סביבתיים. תלמידים בהחלט יכולים לגלות יצירתיות במה שקשור לגישות ולהיבטים חדשים לבעיות ולנושאים הנלמדים. יצירתיות מתמטית של ילדים היא תהליך שמסתיים בפתרון חדש או לא שגרתי לבעיה הנדונה ובעיות דומות. כמו כן, ניסוח שאלות חדשות או אפשרויות כדי לבחון את הבעיה מזווית ראייה חדשה.

אלתור והוראת המתמטיקה

חוקרים טוענים, כי תלמידים יכולים להיות יצירתיים כשהם עוסקים בבעיות מתמטיות מאתגרות עבורם, אך הסביבה הלימודית אינה מכוונת אותם לפיתוח היצירתיות. הרי מתמטיקאים מקצועיים עוסקים בבעיות פתוחות, המתאפיינות באי-ודאות, אולם הגישות הפדגוגיות והלימודיות הנפוצות אינן מציעות לתלמידים שדה מתמטי פתוח ואינן מעודדות מקוריות ועצמאות מחשבתית של התלמידים. לכן, יש לשנות את הגישה ולפתח בקרב התלמידים את הרצון ואת היכולת לחפש פתרונות בלתי צפויים, לאמץ פרספקטיבות חדשות בהתייחס לבעיות המוצעות, ולשאול שאלות המקדמות פתרון בעיות יצירתי. אימוץ הגישה הפדגוגית הזאת חשוב במיוחד, משום שהיא מהווה בסיס ליצירתיות של מתמטיקאים מקצועיים.

יצירתיות במתמטיקה באה לידי ביטוי בניסוח עצמאי של בעיות מתמטיות, במציאת דרכים ואמצעים להתמודדות עם בעיות אלו ובמציאת שיטות מקוריות לפתרון בעיות לא שגרתיות. אחת הדרכים ליצור מצבים שדורשים חשיבה יצירתית היא הצגת בעיות פתוחות שאין להן פתרון אחד חד-משמעי. אם נשאל תלמידים כיצד מחלקים שווה בשווה 12 תפוחים בין 3 קערות, הפתרון הוא חד-משמעי ויש תשובה אחת מתבקשת בתנאים הנתונים. אבל אם נשאל כיצד מחלקים שווה בשווה 12 תפוחים בין מספר קערות, אין פתרון אחד בלבד והתלמיד צריך להניח הנחות לפני שיבחר בכמה פתרונות אפשריים.

ניתוח של המחקרים העוסקים בפיתוח היצירתיות המתמטית מאפשר להצביע על חמשת העקרונות הכלליים, שאותם ניתן ליישם בהוראת המתמטיקה לבני נוער ושמקדמים פיתוח של יצירתיות.

עיקרון הגשטלט-תפיסת הגשטלט רואה ביצירתיות המתמטית תהליך של בחירה בין השאלות שמביאות להגשמה ופיתוח לבין השאלות שאינן מוסיפות רבדים חדשים. תהליך זה מורכב מארבעה שלבים: הכנה, אינקובציה, הארה ואימות.

יש לציין, כי דגם הגשטלט ספג ביקורת רבה בעקבות המקום המרכזי שתופסים בו כוחות תת המודע בשלב האינקובציה. עם זאת, מחקרים רבים שנערכו על תהליכי יצירה מדעית ומתמטית אישרו את תקפות הדגם. כך, מתברר, כי לאחר העבודה הממושכת על הבעיה (שלב ההכנה), ללא פריצת דרך, מתמטיקאים רבים משאירים אותה בצד לזמן מה. ה”השארה בצד” היא שלב האינקובציה, שמאפשר בסופו של דבר לפתח תובנות חדשות ולהגיע לשלב ההארה, שמספק גישה חדשה המביאה לפתרון.

כאמור, דגם הגשטלט אומת בעבודה המקצועית של מתמטיקאים, אך הוא אינו בא לידי ביטוי בהוראת המתמטיקה בכיתה. על המורים לעודד את התלמידים שביניהם לעסוק בפתרון בעיות מתמטיות לאורך זמן ולנסות את פרקטיקה של “אינקובציה”, השארת בעיה בצד. חשוב מאוד לאפשר לתלמידים לחוות את האופוריה של רגע ההארה – הגילוי העצמאי של הפתרון.

עיקרון אסתטי- לעתים, מתמטיקאים מציינים את ההיבטים האסטטיים של עבודתם ואת ההערכה הגבוהה שמקבלת הוכחה “יפה”, כזאת שאינה מורכבת מדי, אך מגלה קשרים חדשים, משלבת בין הרעיונות מהתחומים השונים של המתמטיקה ומשתמשת בטכניקות לא שגרתיות. מתמטיקאים רבים רואים בעבודתם תהליך אסתטי דומה ליצירתם של צייר או משורר. מחקרים שנעשו לאחרונה הראו, כי תלמידי חטיבות ביניים ובתי ספר תיכוניים מסוגלים לחוות ולהעריך את היופי של פתרון פשוט של בעיה מתמטית מורכבת. על המורה לשים דגש על הממד האסתטי של המתמטיקה ולתת לו ביטוי בעת ההערכה.

עיקרון נטילת סיכונים- מתמטיקאים מקצועיים נוטלים סיכון משמעותי כשהם מציעים פתרונות חדשים לבעיות קיימות. אם עמיתיהם ימצאו פגם בהוכחה, שמם הטוב והקריירה שלהם עלולים להיפגע, לעתים בצורה משמעותית ביותר. על המורים לעודד תלמידים ליטול סיכונים, לנהל דיונים פתוחים, שבהם תלמידים מחוננים יוכלו להציג את הפתרונות בפני הכיתה ולקיים דיון.

עיקרון המדעיות- תפיסת היצירתיות כתורמת לאתגור הפרדיגמות הקיימות והרחבת תחום הידע הקיים: על המורים לעודד את התלמידים להציע גישות חלופיות, גם אם הן, על פניו, אינן מביאות לפתרון הבעיה. יש לטפח אווירה המקדמת ויכוח וביקורת בונה, שאותה ניתן להפנות גם כלפי המורים. חשוב לעבוד עם התלמידים על התהליכים של הפשטת הבעיות והצבת בעיות דומות בהקשרים אחרים. על המורים להראות גמישות בהתייחס לקצב התקדמות תכנית הלימודים.

עיקרון אי-הוודאות -היכולת להתמודד עם אי הוודאות, לייצר בעיות פתוחות: עולמו של מתמטיקאי מקצועי מלא אי-ודאות ואמביוולנטיות. על מנת לפתח את היצירתיות, תלמידים חייבים לדעת להתמודד עם אי-ודאות. על המורה לתת תמיכה רגשית לתלמידים שמתייאשים מלפתור בעיה קשה. כמו כן, חשוב מאוד להעניק לתלמידים את האפשרויות לא רק לפתור בעיות, אלא גם להציג בעיות אחרות ולעבוד על היכולת להבחין בין בעיה טובה לבעיה לא טובה, בין בעיה מתמטית לבעיה מתחומים אחרים, בין בעיה פתירה לבעיה שאינה פתירה. הדגם שפותח בגרמניה שם דגש על היכולת לפתח ולהציג בעיה

חמשת העקרונות הנ”ל מגלמים את התפיסה של מתמטיקאי יצירתי כאיש אשכולות, שיודע לקשר בין תחומי ידע שונים ומשלב בין מדע לאמנות.

בקורס אלתור דיברנו על היכולת להתמודד עם חוסר ודאות. חוסר ודאות הוא מצב אליו אנו נתקלים וכדי לצאת מהמצב  אנחנו מאלתרים. בדומה לאלתור, חוסר הוודאות פוגש אותנו בפתרון בעיות במתמטיקה. במהלך לימודי המתמטיקה אנחנו נתקלים בשאלות שאנחנו לא יודעים את התשובה או דרך הפתרון. חוסר הוודאות במתמטיקה הכרחי על מנת לקדם את תהליך העבודה וזה מאפשר לנו לחשוב על טכניקות חדשות למציאת הפתרון.

אני מאמינה שההכרה והמודעות ליכולת האלתור מאפשרת להעביר את תכני המתמטיקה בצורה יעילה וחדשנית. אני יציג  מספר דוגמאות לכך, בהם אני אתייחס לשימוש במשולשים שעשינו בקורס:

1.עצמי-שותף-מבנה. בין קודקודי המשולש יש “יחסים”.

במהלך כתיבת מערך שיעור, המורה צריכה לקחת בחשבון : איך מתאים לה להעביר את השיעור(עצמי). למשל: באחד השיעורים שלי, אני בחרתי לעביר שיעור כשאני עושה שימוש בכתיבה על הלוח כי ככה יותר נוח לי. למי מיועד השיעור(שותפים). למשל: במהלך השיעור אפשרתי עבודה בזוגות. יש תלמידים  שיותר מתקשים מאחרים ולדעתי קל להם יותר לעשות עבודה ביחד כי כך הם לומדים אחד מהשני. מבנה. התחשבות במבנה של מערך שיעור וחלוקת זמן הגיונית.

בדרך זו, המורה תיצור יחסים טובים עם התלמידים והשיעור יהיה מותאם ככל האפשר לתלמידים באותה כיתה. בלימודי המתמטיקה מאוד חשוב להתאים את השיעור ככל האפשר לתלמידים כדי להשיג את הרמה הרצויה בכיתה.

 

2.להקשיב-לנשום-להגיב.

אחת מהתכונות החשובות שצריכה להיות למורה היא היכולת להקשיב. מורה למתמטיקה צריכה להקשיב לקושי שיש לתלמיד ובאותו הרגע לדעת לכוון אותו איך עליו לחשוב או לתת לו כלי שיעזרו לו בהתמודדות עם בעיות דומות. היא צריכה להיות רגועה, לנשום ורק אז להגיב-אחרי שהיא הבינה איפה התלמיד התקשה ומה יעזור לו להבנה.

 

3.התבוננות-מראה-יוזמה.

התלמיד מתבונן במורה ובדרך זו הוא “קולט” ידע, מושגים חדשים ודרכי פתרון. בשלב הראשון התלמיד מתמודד עם שאלות זהות לאלו שהמורה פתר על הלוח. הדרישה מהתלמיד היא לחקות את דרך הפתרון של המורה (מראה). בשלב הסופי, התלמיד מתמודד עם שאלות של ישום, שאלות המצריכות מהתלמיד ליזום, כלומר אם לא הצליח בדרך המוכרת עליו לנסות דרכים שונות על סמך ידע קודם.

 

יתרה מזאת, הלמידה בגיל צעיר נעשית באמצעות חיקוי של המורה, לכן חשוב שהמורה תדבר עם הילדים בשפה מתמטית נכונה, כדי שהילדים יתרגלו לשפה המתמטית ויחזרו עליה. שימוש בשפה מתמטית נכונה ימנע או יקטין את היווצרותן של תפיסות מוטעות.